Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{8} x^{3}$ at $x = 3$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 3$ .

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Schritt 1.1

Setze $3$ für $x$ ein.

$y = \frac{1}{8} \cdot {(3)}^{3}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{8} \cdot 3^{3}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{8} \cdot {(3)}^{3}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $\frac{1}{8} \cdot {(3)}^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y = \frac{1}{8} \cdot 27$

Schritt 1.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $27$ .

$y = \frac{27}{8}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = \frac{27}{8}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{8} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{8} (3 x^{2})$

Schritt 2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3}{8} x^{2}$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{3}{8}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{8}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 3$ .

$\frac{3 {(3)}^{2}}{8}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3^{1} {(3)}^{2}}{8}$

Schritt 2.5.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3^{1 + 2}}{8}$

Schritt 2.5.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3^{3}}{8}$

Schritt 2.5.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{27}{8}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{27}{8}$ und einen gegebenen Punkt $(3, \frac{27}{8})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{27}{8}) = \frac{27}{8} \cdot (x - (3))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27}{8} \cdot (x - 3)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{27}{8} \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{27}{8} = 0 + 0 + \frac{27}{8} \cdot (x - 3)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27}{8} \cdot (x - 3)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27}{8} x + \frac{27}{8} \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{27}{8}$ und $x$ .

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} + \frac{27}{8} \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $\frac{27}{8} \cdot - 3$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{27}{8}$ und $- 3$ .

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} + \frac{27 \cdot - 3}{8}$

Schritt 3.3.1.5.2

Mutltipliziere $27$ mit $- 3$ .

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} + \frac{- 81}{8}$

Schritt 3.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} - \frac{81}{8}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $\frac{27}{8}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{27 x}{8} - \frac{81}{8} + \frac{27}{8}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{27 x - 81 + 27}{8}$

Schritt 3.3.2.3

Addiere $- 81$ und $27$ .

$y = \frac{27 x - 54}{8}$

Schritt 3.3.2.4

Faktorisiere $27$ aus $27 x - 54$ heraus.

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Schritt 3.3.2.4.1

Faktorisiere $27$ aus $27 x$ heraus.

$y = \frac{27 (x) - 54}{8}$

Schritt 3.3.2.4.2

Faktorisiere $27$ aus $- 54$ heraus.

$y = \frac{27 x + 27 \cdot - 2}{8}$

Schritt 3.3.2.4.3

Faktorisiere $27$ aus $27 x + 27 \cdot - 2$ heraus.

$y = \frac{27 (x - 2)}{8}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{27 x + 27 \cdot - 2}{8}$

Schritt 3.3.3.2

Mutltipliziere $27$ mit $- 2$ .

$y = \frac{27 x - 54}{8}$

Schritt 3.3.3.3

Zerlege den Bruch $\frac{27 x - 54}{8}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{- 54}{8}$

Schritt 3.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 54$ und $8$ .

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Schritt 3.3.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 54$ heraus.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{2 (- 27)}{8}$

Schritt 3.3.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{- 27}{4}$

Schritt 3.3.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{27 x}{8} - \frac{27}{4}$

Schritt 3.3.3.6

Stelle die Terme um.

$y = \frac{27}{8} x - \frac{27}{4}$

Schritt 4