Analysis Beispiele

$f (x) = {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 3$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 3$ .

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Schritt 1.1

Setze $3$ für $x$ ein.

$y = {(4 (3) - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = {(4 (3) - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache ${(4 (3) - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$y = {(12 - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $12$ .

$y = 9^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.2.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.2.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 3^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 3^{1}$

Schritt 1.2.2.3

Berechne den Exponenten.

$y = 3$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 x - 3$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 3$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Schritt 2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Schritt 2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Schritt 2.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Schritt 2.6.3

Bringe ${(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.11

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0)$

Schritt 2.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.12.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4$

Schritt 2.12.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ und $4$ .

$\frac{4}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.12.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.14

Bestimme die Ableitung bei $x = 3$ .

$\frac{2}{{(4 (3) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.15.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{2}{{(12 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.2

Subtrahiere $3$ von $12$ .

$\frac{2}{9^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{2}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 2.15.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.15.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 2.15.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3^{1}}$

Schritt 2.15.6

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{3}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{2}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(3, 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = \frac{2}{3} \cdot (x - (3))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = \frac{2}{3} \cdot (x - 3)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 3)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 3 = \frac{2}{3} \cdot (x - 3)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 3 = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$y - 3 = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y - 3 = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 (- 1))$

Schritt 3.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 3 = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 3 = \frac{2 x}{3} + 2 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y - 3 = \frac{2 x}{3} - 2$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{2 x}{3} - 2 + 3$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + 1$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{2}{3} x + 1$

Schritt 4