Analysis Beispiele

$y = \frac{1 + x}{8 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{9})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = \frac{1}{9}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + x$ und $g (x) = 8 + e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $8 + e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{8 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.3.1.2

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$\frac{8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ .

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Schritt 1.4.3.2.1

Subtrahiere $e^{x}$ von $e^{x}$ .

$\frac{8 + 0 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.3.2.2

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{8 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{x} x + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{x} x$ heraus.

$\frac{- (e^{x} x) + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.6

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{x} x) - 1 (- 8)$ heraus.

$\frac{- (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.8

Schreibe $- (e^{x} x - 8)$ als $- 1 (e^{x} x - 8)$ um.

$\frac{- 1 (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.10

Stelle die Faktoren in $- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ um.

$- \frac{x e^{x} - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Schreibe $0 \cdot e^{0}$ als ${(0 \cdot e^{0})}^{3}$ um.

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 2^{3}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 0 \cdot e^{0}$ und $b = 2$ .

$- \frac{(0 \cdot e^{0} - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1.4.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{(0 \cdot 1 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$- \frac{(0 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.4.3

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.4.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.6.1.4.4.1

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$0 \cdot e^{0} \cdot 2 = 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2$

Schritt 1.6.1.4.4.2

Schreibe das Polynom neu.

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.4.4.3

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 0 \cdot e^{0}$ und $b = 2$ .

$- \frac{- 2 {(0 \cdot e^{0} + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.4.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{- 2 {(0 \cdot 1 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.4.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$- \frac{- 2 {(0 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.4.7

Addiere $0$ und $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 2^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.2.2

Schreibe $e^{0}$ als ${(e^{0})}^{3}$ um.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + {(e^{0})}^{3})}^{2}}$

Schritt 1.6.2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 2$ und $b = e^{0}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + e^{0}) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Schritt 1.6.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.6.2.4.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + 1) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Schritt 1.6.2.4.2

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Schritt 1.6.2.4.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Schritt 1.6.2.4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 \cdot 1 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Schritt 1.6.2.4.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Schritt 1.6.2.4.6

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{0})}^{2}$ .

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Schritt 1.6.2.4.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0 \cdot 2}))}^{2}}$

Schritt 1.6.2.4.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0}))}^{2}}$

Schritt 1.6.2.4.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + 1))}^{2}}$

Schritt 1.6.2.4.8

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2 + 1))}^{2}}$

Schritt 1.6.2.4.9

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 \cdot 3)}^{2}}$

Schritt 1.6.2.5

Wende die Produktregel auf $3 \cdot 3$ an.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{3^{2} \cdot 3^{2}}$

Schritt 1.6.2.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 3^{2}}$

Schritt 1.6.2.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 9}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.6.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$- \frac{- 8}{9 \cdot 9}$

Schritt 1.6.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$- \frac{- 8}{81}$

Schritt 1.6.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{8}{81}$

Schritt 1.6.4

Multipliziere $- - \frac{8}{81}$ .

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Schritt 1.6.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{8}{81})$

Schritt 1.6.4.2

Mutltipliziere $\frac{8}{81}$ mit $1$ .

$\frac{8}{81}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{8}{81}$ und einen gegebenen Punkt $(0, \frac{1}{9})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{9}) = \frac{8}{81} \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{8}{81} \cdot (x + 0)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot x$

Schritt 2.3.1.2

Kombiniere $\frac{8}{81}$ und $x$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{8 x}{81}$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{1}{9}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{8 x}{81} + \frac{1}{9}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{8}{81} x + \frac{1}{9}$

Schritt 3