Analysis Beispiele

$f (x) = (x^{3} + 4) (3 x^{2} - 4 x + 2)$ ; $(1, 5)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 5$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3} + 4$ und $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 4 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 4) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Schritt 1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 4) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{3} + 4) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(x^{3} + 4) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Schritt 1.2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Schritt 1.2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Schritt 1.2.9

Addiere $6 x - 4$ und $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Schritt 1.2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 1.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 1.2.12

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

Schritt 1.2.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.13.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

Schritt 1.2.13.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} + 4) (6 x) + (x^{3} + 4) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (6 x) + 4 (6 x) + (x^{3} + 4) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (6 x) + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.6.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.6.1.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.3.6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.3

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$6 x^{4} + 24 x + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.4

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 \cdot x^{3} + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.6.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.7.3

Addiere $2$ und $2$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.9

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.6.9.1

Bewege $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.9.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.3.6.9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.9.3

Addiere $2$ und $1$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 1.3.6.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Schritt 1.3.6.11

Addiere $6 x^{4}$ und $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Schritt 1.3.6.12

Subtrahiere $12 x^{3}$ von $- 4 x^{3}$ .

$15 x^{4} + 24 x - 16 x^{3} - 16 + 6 x^{2}$

Schritt 1.3.7

Stelle die Terme um.

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 24 x - 16$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$15 {(1)}^{4} - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$15 \cdot 1 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$15 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Schritt 1.5.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$15 - 16 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$15 - 16 + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Schritt 1.5.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$15 - 16 + 6 \cdot 1 + 24 (1) - 16$

Schritt 1.5.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$15 - 16 + 6 + 24 (1) - 16$

Schritt 1.5.1.7

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$15 - 16 + 6 + 24 - 16$

Schritt 1.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.5.2.1

Subtrahiere $16$ von $15$ .

$- 1 + 6 + 24 - 16$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$5 + 24 - 16$

Schritt 1.5.2.3

Addiere $5$ und $24$ .

$29 - 16$

Schritt 1.5.2.4

Subtrahiere $16$ von $29$ .

$13$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $13$ und einen gegebenen Punkt $(1, 5)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (5) = 13 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 5 = 13 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $13 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 5 = 0 + 0 + 13 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 5 = 13 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 = 13 x + 13 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $13$ mit $- 1$ .

$y - 5 = 13 x - 13$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 13 x - 13 + 5$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 13$ und $5$ .

$y = 13 x - 8$

Schritt 3