Analysis Beispiele

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = \frac{π}{3}$ .

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Schritt 1.1

Setze $\frac{π}{3}$ für $x$ ein.

$y = 4 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 4 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $4 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

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Schritt 1.2.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = 4 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = 2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 1.2.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$y = 2 (\sqrt{3}) \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \sqrt{3} \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \sqrt{3}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{3}$ und $y = \sqrt{3}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \sin (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.8

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Schritt 2.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 2.10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Schritt 2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

Schritt 2.13.3

Schreibe $4 \cos^{2} (x)$ als ${(2 \cos (x))}^{2}$ um.

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

Schritt 2.13.4

Schreibe $4 \sin^{2} (x)$ als ${(2 \sin (x))}^{2}$ um.

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

Schritt 2.13.5

Stelle $- {(2 \sin (x))}^{2}$ und ${(2 \cos (x))}^{2}$ um.

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

Schritt 2.13.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 \cos (x)$ und $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

Schritt 2.13.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Schritt 2.13.8

Multipliziere $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.13.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Schritt 2.13.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Schritt 2.13.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.13.9

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Schritt 2.13.9.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ und $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ neu an.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.13.9.2

Addiere $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ und $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.13.9.3

Addiere $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ und $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.13.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.13.10.1

Multipliziere $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Schritt 2.13.10.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.13.10.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.13.10.1.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.13.10.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.13.10.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.13.10.2

Multipliziere $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Schritt 2.13.10.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

Schritt 2.13.10.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Schritt 2.13.10.2.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Schritt 2.13.10.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Schritt 2.13.10.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Schritt 2.14

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{3}$ .

$4 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15

Vereinfache.

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Schritt 2.15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.15.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \frac{1}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 (\frac{1}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.15.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{1}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$1 - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 2.15.1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$1 - 4 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.8

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.15.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 - 4 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 4 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.15.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - 4 \frac{3^{1}}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.8.5

Berechne den Exponenten.

$1 - 4 \frac{3}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$1 - 4 (\frac{3}{4})$

Schritt 2.15.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.15.1.10.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$1 + 4 (- 1) \frac{3}{4}$

Schritt 2.15.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + 4 \cdot - 1 \frac{3}{4}$

Schritt 2.15.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$1 - 1 \cdot 3$

Schritt 2.15.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 3$

Schritt 2.15.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 2$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{3}, \sqrt{3})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\sqrt{3}) = - 2 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \sqrt{3} = - 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \sqrt{3} = 0 + 0 - 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \sqrt{3} = - 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \sqrt{3} = - 2 x - 2 (- \frac{π}{3})$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $- 2 (- \frac{π}{3})$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y - \sqrt{3} = - 2 x + 2 \frac{π}{3}$

Schritt 3.3.1.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{3}$ .

$y - \sqrt{3} = - 2 x + \frac{2 π}{3}$

Schritt 3.3.2

Addiere $\sqrt{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2 x + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Um $\sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - 2 x + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.3.2

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = - 2 x + \frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - 2 x + \frac{2 π + \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 3.3.3.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$y = - 2 x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4