Analysis Beispiele

$y = e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ , $(0, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \cos (x)$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) + \cos (x)$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$- e^{0} \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- 1 \cdot 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Schritt 1.6.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- 1 \cdot 0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Schritt 1.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Schritt 1.6.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 1 \cos (0) + \cos (0)$

Schritt 1.6.1.6

Mutltipliziere $\cos (0)$ mit $1$ .

$0 + \cos (0) + \cos (0)$

Schritt 1.6.1.7

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 + 1 + \cos (0)$

Schritt 1.6.1.8

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 + 1 + 1$

Schritt 1.6.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 1.6.2.1

Addiere $0$ und $1$ .

$1 + 1$

Schritt 1.6.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $2$ und einen gegebenen Punkt $(0, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = 2 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = 2 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 1 = 2 x$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 x + 1$

Schritt 3