Analysis Beispiele

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{3}, 2)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{3}$ und $y = 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 1.2

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{3})$ ist $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3})$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $2 \sqrt{3}$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{3}, 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 2 = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Schritt 2.3.1.4

Multipliziere $2 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

Schritt 2.3.1.4.2

Kombiniere $\frac{π}{3}$ und $- 2$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2}{3} \sqrt{3}$

Schritt 2.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{π \cdot - 2}{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.5.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $π$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 6}{3}$

Schritt 2.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 π \sqrt{3}$ heraus.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) + 6}{3}$

Schritt 2.3.3.6

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 6)}{3}$

Schritt 2.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 6)$ heraus.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3} - 6)}{3}$

Schritt 2.3.3.8

Schreibe $- (2 π \sqrt{3} - 6)$ als $- 1 (2 π \sqrt{3} - 6)$ um.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 π \sqrt{3} - 6)}{3}$

Schritt 2.3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3} - 6}{3}$

Schritt 3