Analysis Beispiele

$f (x) = {(\frac{x + 2}{x - 2})}^{2}$ ; $(6, 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 6$ und $y = 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \frac{x + 2}{x - 2}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x + 2}{x - 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x + 2}{x - 2}$ .

$2 \frac{x + 2}{x - 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

Schritt 1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x + 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 2$ und $g (x) = x - 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.4.2

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.8.3

Mutltipliziere $\frac{2 (x + 2)}{x - 2}$ mit $\frac{x - 2 - (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{(x - 2) {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.5

Multipliziere $x - 2$ mit ${(x - 2)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $x - 2$ mit ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{1 + 2}}$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) (x - 2 - x - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(2 x + 4) (x - 2 - x - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 - x - 1 \cdot 2$ .

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Schritt 1.6.3.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{(2 x + 4) (0 - 2 - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (- 2 - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{(2 x + 4) (- 2 - 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.3.4

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$\frac{(2 x + 4) \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot - 4 + 4 \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.3.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{- 8 x + 4 \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$\frac{- 8 x - 16}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.4

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x - 16$ heraus.

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Schritt 1.6.4.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{8 (- x) - 16}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.4.2

Faktorisiere $8$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{8 (- x) + 8 (- 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.4.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x) + 8 (- 2)$ heraus.

$\frac{8 (- x - 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{8 (- (x) - 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.6

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{8 (- (x) - 1 (2))}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{8 (- (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.8

Schreibe $- (x + 2)$ als $- 1 (x + 2)$ um.

$\frac{8 (- 1 (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.6.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 (x + 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.7

Bestimme die Ableitung bei $x = 6$ .

$- \frac{8 ((6) + 2)}{{((6) - 2)}^{3}}$

Schritt 1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Addiere $6$ und $2$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{{(6 - 2)}^{3}}$

Schritt 1.8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.8.2.1

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{4^{3}}$

Schritt 1.8.2.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{64}$

Schritt 1.8.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.8.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$- \frac{64}{64}$

Schritt 1.8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 1.8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{64}{64}$

Schritt 1.8.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 1$ und einen gegebenen Punkt $(6, 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (4) = - 1 \cdot (x - (6))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 6)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 1 \cdot (x - 6)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 4 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 6)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 6)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 4 = - 1 x - 1 \cdot - 6$

Schritt 2.3.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.4.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y - 4 = - x - 1 \cdot - 6$

Schritt 2.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$y - 4 = - x + 6$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x + 6 + 4$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $6$ und $4$ .

$y = - x + 10$

Schritt 3