Analysis Beispiele

$y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ , $(2, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)$

Schritt 1.2.7

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ um.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 1.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 1.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2 x - 2$ mit $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 1$ und ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.3.5.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $2 (x - 1)$ heraus.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.5.2.1

Faktorisiere $x - 1$ aus ${(x - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x - 1}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$\frac{2}{(2) - 1}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{2}{1}$

Schritt 1.5.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $2$ und einen gegebenen Punkt $(2, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 2 \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 2 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 2 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $2 \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y = 2 x - 4$

Schritt 3