Analysis Beispiele

$f (x) = {(\frac{x + 3}{x - 1})}^{2}$ ; $(5, 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 5$ und $y = 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$2 \frac{x + 3}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Schritt 1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 3$ und $g (x) = x - 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.4.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.8.3

Mutltipliziere $\frac{2 (x + 3)}{x - 1}$ mit $\frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5

Multipliziere $x - 1$ mit ${(x - 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $x - 1$ mit ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 - x - 1 \cdot 3$ .

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Schritt 1.6.3.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{(2 x + 6) (0 - 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.3.4

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$\frac{(2 x + 6) \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot - 4 + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.3.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{- 8 x + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.3.7

Mutltipliziere $6$ mit $- 4$ .

$\frac{- 8 x - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.4

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x - 24$ heraus.

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Schritt 1.6.4.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{8 (- x) - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.4.2

Faktorisiere $8$ aus $- 24$ heraus.

$\frac{8 (- x) + 8 (- 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.4.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x) + 8 (- 3)$ heraus.

$\frac{8 (- x - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{8 (- (x) - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.6

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{8 (- (x) - 1 (3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{8 (- (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.8

Schreibe $- (x + 3)$ als $- 1 (x + 3)$ um.

$\frac{8 (- 1 (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.6.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 (x + 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.7

Bestimme die Ableitung bei $x = 5$ .

$- \frac{8 ((5) + 3)}{{((5) - 1)}^{3}}$

Schritt 1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Addiere $5$ und $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{{(5 - 1)}^{3}}$

Schritt 1.8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.8.2.1

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{4^{3}}$

Schritt 1.8.2.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{64}$

Schritt 1.8.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.8.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$- \frac{64}{64}$

Schritt 1.8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 1.8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{64}{64}$

Schritt 1.8.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 1$ und einen gegebenen Punkt $(5, 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (4) = - 1 \cdot (x - (5))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 1 \cdot (x - 5)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 4 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 5)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 4 = - 1 x - 1 \cdot - 5$

Schritt 2.3.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.4.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y - 4 = - x - 1 \cdot - 5$

Schritt 2.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$y - 4 = - x + 5$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x + 5 + 4$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $5$ und $4$ .

$y = - x + 9$

Schritt 3