Analysis Beispiele

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{2 x} d x$ , folglich $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 x} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (\sqrt{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]$

Schritt 1.1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.1.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.1.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.1.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.1.11

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 1.1.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.12.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.12.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.13.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.13.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.1.13.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.13.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Schritt 1.1.13.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.1.13.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1}}$

Schritt 1.1.13.2

Vereinfache $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ um.

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 4.2

Schreibe $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ als $1 {u_{2}}^{2} + C$ um.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 4.3

Mutltipliziere ${u_{2}}^{2}$ mit $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (\sqrt{x})$ .

$\ln^{2} (\sqrt{x}) + C$