Analysis Beispiele

$\int 2 x^{2} \sqrt{4 x^{3} - 7} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 x^{3} - 7$ . Dann ist $d u = 12 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 x^{3} - 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x^{3} - 7$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 7]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $12 x^{2}$ und $0$ .

$12 x^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 2 \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $2$ .

$\int \frac{2}{12} \sqrt{u} d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{2}{12}$ und $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{12} d u$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{u}$ heraus.

$\int \frac{2 (\sqrt{u})}{12} d u$

Schritt 2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 \cdot 6} d u$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 \cdot 6} d u$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sqrt{u}}{6} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{6} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2

Schreibe $\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ als $\frac{1}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{3} - 7$ .

$\frac{1}{9} {(4 x^{3} - 7)}^{\frac{3}{2}} + C$