Analysis Beispiele

$\int x^{2} \sqrt{x^{3} + 33} d x$ , $u = x^{3} + 33$

Schritt 1

Wenn $u = x^{3} + 33$ . Dann $d u = 3 x^{2} d x$ . Umschreibe dies mit $u$ und $d u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{3} + 33$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3} + 33$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 33]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 33$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [33]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [33]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [33]$

Schritt 1.1.4

Da $33$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $33$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Schritt 2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ als $\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 33$ .

$\frac{2}{9} {(x^{3} + 33)}^{\frac{3}{2}} + C$