Analysis Beispiele

$\int \tan^{3} (x) \sec (x) d x$

Schritt 1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\int \tan^{3} (x) \sec^{1} (x) d x$

Schritt 2

Faktorisiere $\tan^{2} (x)$ aus.

$\int \tan^{2} (x) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

Schritt 3

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec (x) d x$

Schritt 5

Sei $u = \sec (x)$ . Dann ist $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 5.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - 1 + u^{2} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$- \sec (x) + \frac{1}{3} \sec^{3} (x) + C$