Analysis Beispiele

$\int \frac{15}{{(3 x - 10)}^{\frac{4}{3}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 x - 10$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 x - 10$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Forme um.

$\frac{3}{1}$

Schritt 1.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{5}{u^{\frac{4}{3}}} d u$

Schritt 2

Da $5$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}} d u$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $u^{\frac{4}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$5 \int {(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int u^{\frac{4}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $- 1$ .

$5 \int u^{\frac{4 \cdot - 1}{3}} d u$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$5 \int u^{\frac{- 4}{3}} d u$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 \int u^{- \frac{4}{3}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{4}{3}}$ nach $u$ gleich $- 3 u^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 (- 3 u^{- \frac{1}{3}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $5 (- 3 u^{- \frac{1}{3}} + C)$ als $5 (- 3 \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$ um.

$5 (- 3 \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$

Schritt 5.2

Schreibe $5 (- 3 \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$ als $5 \frac{- 3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$ um.

$5 \frac{- 3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (- \frac{3}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 \frac{3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{3}{u^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{- 15}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

Schritt 5.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 10$ .

$- \frac{15}{{(3 x - 10)}^{\frac{1}{3}}} + C$