Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 x^{2}}} d x$

Schritt 1.2

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{upper} = 3 (\frac{1}{6})$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 (2)}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (u)$

$\frac{1}{3} \arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5

Berechne $\arcsin (u)$ bei $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (0))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} - \arcsin (0))$

Schritt 6.1.2

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} - 0)$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} + 0)$

Schritt 6.2

Addiere $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{π}{6}$

Schritt 6.3

Multipliziere $\frac{1}{3} \cdot \frac{π}{6}$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{3 \cdot 6}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{π}{18}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{18}$

Dezimalform:

$0.17453292 \dots$

Schritt 8