Analysis Beispiele

$\int e^{2 x} {(1 + 3 e^{2 x})}^{5} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = 1 + 3 e^{2 x}$ . Dann ist $d u_{2} = 6 e^{2 x} d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = 1 + 3 e^{2 x}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + 3 e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 3 e^{2 x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 3 e^{2 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{2 x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.1.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$0 + 3 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 3 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 3 (e^{2 x} \cdot 2)$

Schritt 1.1.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$0 + 3 (2 \cdot e^{2 x})$

Schritt 1.1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$0 + 6 e^{2 x}$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $6 e^{2 x}$ .

$6 e^{2 x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int {u_{2}}^{5} \frac{1}{6} d u_{2}$

Schritt 2

Kombiniere ${u_{2}}^{5}$ und $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{5}}{6} d u_{2}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{5}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{6} (\frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C)$ als $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C$ um.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C$ als $\frac{1}{36} {u_{2}}^{6} + C$ um.

$\frac{1}{36} {u_{2}}^{6} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + 3 e^{2 x}$ .

$\frac{1}{36} {(1 + 3 e^{2 x})}^{6} + C$