Analysis Beispiele

$\int \frac{4 x}{e^{5 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 5 x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 10 x d x$ , folglich $\frac{1}{10} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 5 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 x)$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{4}{e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{10} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{4}{e^{u_{1}}}$ mit $\frac{1}{10}$ .

$\int \frac{4}{e^{u_{1}} \cdot 10} d u_{1}$

Schritt 2.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{4}{10 \cdot e^{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $10$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int \frac{2 (2)}{10 e^{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 e^{u_{1}}$ heraus.

$\int \frac{2 (2)}{2 (5 e^{u_{1}})} d u_{1}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 \cdot 2}{2 (5 e^{u_{1}})} d u_{1}$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{2}{5 e^{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{2}{5}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{2}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{5} \int \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{u_{1}}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\frac{2}{5} \int 1 {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \int 1 e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Schritt 4.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\frac{2}{5} \int 1 e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe $- 1 u_{1}$ als $- u_{1}$ um.

$\frac{2}{5} \int 1 e^{- u_{1}} d u_{1}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $e^{- u_{1}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{5} \int e^{- u_{1}} d u_{1}$

Schritt 5

Sei $u_{2} = - u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = - d u_{1}$ , folglich $- d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{2} = - u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

Schritt 5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{2}{5} \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{5} (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{2}{5} (- (e^{u_{2}} + C))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{2}{5} (- e^{u_{2}}) + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{2 e^{u_{2}}}{5} + C$

Schritt 9

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 9.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- u_{1}$ .

$- \frac{2 e^{- u_{1}}}{5} + C$

Schritt 9.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x^{2}$ .

$- \frac{2 e^{- (5 x^{2})}}{5} + C$

Schritt 10

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- \frac{2 e^{- 5 x^{2}}}{5} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$- \frac{2}{5} e^{- 5 x^{2}} + C$