Analysis Beispiele

$\int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Schritt 1

Schreibe ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ als $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ um.

$\int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

Schritt 2

Multipliziere $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 3.1.1.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.3.1

Bewege $e^{- x}$ .

$\int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 3.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 3.1.3.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$\int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 3.1.4

Vereinfache $- e^{0}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $e^{- x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1

Bewege $e^{x}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 3.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 3.1.5.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 3.1.6

Vereinfache $- e^{0}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 3.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

Schritt 3.1.8

Multipliziere $e^{- x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.8.1

Bewege $e^{- x}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

Schritt 3.1.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

Schritt 3.1.8.3

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

Schritt 3.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

Schritt 3.1.10

Mutltipliziere $e^{- 2 x}$ mit $1$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

Schritt 4

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- 2 \frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- 2 u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 u_{1}$ heraus.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- u_{1}}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $- u_{1}$ durch $1$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

Schritt 10

Sei $u_{2} = - u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = - d u_{1}$ , folglich $- d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u_{2} = - u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

Schritt 10.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 12

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - (e^{u_{2}} + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} - 2 u_{1} - e^{u_{2}}) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{u_{2}}) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- u_{1}}) + C$

Schritt 14.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- (2 x)}) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- (2 x)}) + C$

Schritt 15.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- 2 x}) + C$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Schritt 15.3

Vereinfache.

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Schritt 15.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Schritt 15.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Schritt 15.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Schritt 15.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Schritt 15.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$