Analysis Beispiele

$\int \frac{2 r}{{(1 - r)}^{7}} d r$

Schritt 1

Sei $u = 1 - r$ . Dann ist $d u = - d r$ , folglich $- d u = d r$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - r$ . Ermittle $\frac{d u}{d r}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - r$ .

$\frac{d}{d r} [1 - r]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - r$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$ .

$\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [- r]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d r} [- r]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $- r$ nach $r$ gleich $- \frac{d}{d r} [r]$ .

$0 - \frac{d}{d r} [r]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- (2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u$

Schritt 5.2

Bringe $u^{7}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- 2 \int (- u + 1) {(u^{7})}^{- 1} d u$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{7})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int (- u + 1) u^{7 \cdot - 1} d u$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$- 2 \int (- u + 1) u^{- 7} d u$

Schritt 6

Multipliziere $(- u + 1) u^{- 7}$ .

$- 2 \int - u \cdot u^{- 7} + 1 u^{- 7} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Multipliziere $u$ mit $u^{- 7}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.1

Bewege $u^{- 7}$ .

$- 2 \int - (u^{- 7} u) + 1 u^{- 7} d u$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $u^{- 7}$ mit $u$ .

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Schritt 7.1.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- 2 \int - (u^{- 7} u^{1}) + 1 u^{- 7} d u$

Schritt 7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 \int - u^{- 7 + 1} + 1 u^{- 7} d u$

Schritt 7.1.3

Addiere $- 7$ und $1$ .

$- 2 \int - u^{- 6} + 1 u^{- 7} d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $u^{- 7}$ mit $1$ .

$- 2 \int - u^{- 6} + u^{- 7} d u$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- 2 (\int - u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 2 (- \int u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 6}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5} u^{- 5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $u^{- 5}$ und $\frac{1}{5}$ .

$- 2 (- (- \frac{u^{- 5}}{5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Schritt 11.2

Bringe $u^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 7}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{6} u^{- 6}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6} u^{- 6} + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

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Schritt 13.1.1

Kombiniere $u^{- 6}$ und $\frac{1}{6}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{u^{- 6}}{6} + C)$

Schritt 13.1.2

Bringe $u^{- 6}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6 u^{6}} + C)$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$- 2 (\frac{1}{5 u^{5}} - \frac{1}{6 u^{6}}) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $1 - r$ .

$- 2 (\frac{1}{5 {(1 - r)}^{5}} - \frac{1}{6 {(1 - r)}^{6}}) + C$