Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (2 x) \cos (2 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \sin (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \sin (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 1.1.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = \sin (2 x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Schritt 1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Schritt 1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = \sin (2 x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

Schritt 1.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \sin (π)$

Schritt 1.5.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$u_{upper} = \sin (0)$

Schritt 1.5.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2

Kombiniere ${u_{2}}^{5}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} \frac{{u_{2}}^{5}}{2} d u_{2}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{5}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} {u_{2}}^{6}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ bei $0$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 0^{6}) - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $\frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$ von $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$- \frac{1}{12} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{12} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Dezimalform:

$- 0.03515625$