Analysis Beispiele

$\int \ln (2 x + 1) d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x + 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \ln (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\ln (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\ln (u)}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \ln (u) d u$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = \ln (u)$ und $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $u$ und $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int d u)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - (u + C))$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - u) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x + 1)) + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x) - 1 \cdot 1) + C$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1 \cdot 1) + C$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1) + C$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $\ln (2 x + 1)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Schritt 9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Schritt 9.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{- 1}{2} + C$

Schritt 9.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x) + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

Schritt 9.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

Schritt 9.4.3

Mutltipliziere $\frac{\ln (2 x + 1)}{2}$ mit $1$ .

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Schritt 9.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Schritt 9.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Schritt 9.4.5

Um $\ln (2 x + 1) x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Schritt 9.4.6

Kombiniere $\ln (2 x + 1) x$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Schritt 9.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Schritt 9.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.8.1

Faktorisiere $\ln (2 x + 1)$ aus $\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)$ heraus.

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Schritt 9.4.8.1.1

Faktorisiere $\ln (2 x + 1)$ aus $\ln (2 x + 1) x \cdot 2$ heraus.

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Schritt 9.4.8.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Schritt 9.4.8.1.3

Faktorisiere $\ln (2 x + 1)$ aus $\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1$ heraus.

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2 + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Schritt 9.4.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Schritt 9.4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x - \frac{1}{2} + C$

Schritt 9.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- x + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1}{2} + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$- x + \frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1) + C$