Analysis Beispiele

$\int \frac{40 x^{3}}{{(5 x^{4} + 3)}^{4}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 5 x^{4} + 3$ . Dann ist $d u = 20 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{20 x^{3}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 5 x^{4} + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $5 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} + 3]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $20 x^{3}$ und $0$ .

$20 x^{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{2}{u^{4}} d u$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $u^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2 \int u^{- 4} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 4}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$2 (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $u^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$2 (- \frac{u^{- 3}}{3} + C)$

Schritt 5.1.2

Bringe $u^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$2 (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{- 2}{3 u^{3}} + C$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3 u^{3}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{4} + 3$ .

$- \frac{2}{3 {(5 x^{4} + 3)}^{3}} + C$