Analysis Beispiele

$\int (4 x^{3} + x) \sqrt{4 x^{2} + 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 8 x d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$8 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere $u$ mit $u^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $u$ mit $u^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Schritt 2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Schritt 2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Schritt 2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Schritt 2.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{8} d u$

Schritt 2.3

Kombiniere $u^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{8} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ als $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ als $\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{20} {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$