Analysis Beispiele

$\int x {(4 x + 5)}^{3} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 x + 5$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 4 x + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (\frac{u}{4} - \frac{5}{4}) u^{3} \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u^{3}$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{5}{4}) \frac{u^{3}}{4} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{u}{4}$ mit $\frac{u^{3}}{4}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Schritt 3.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{u^{1 + 3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $3$ .

$\int \frac{u^{4}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Schritt 3.7

Kombiniere $- \frac{5}{4}$ und $\frac{u^{3}}{4}$ .

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5 u^{3}}{4 \cdot 4} d u$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{u^{4}}{16} d u + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{16}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{16}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{16} \int u^{4} d u + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Schritt 8

Da $\frac{5}{16}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{5}{16}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (\frac{5}{16} \int u^{3} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \frac{5}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 10.2

Schreibe $\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ als $\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ um.

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 10.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{5}{16}$ .

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{4 \cdot 16} u^{4} + C$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{64} u^{4} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $4 x + 5$ .

$\frac{1}{80} {(4 x + 5)}^{5} - \frac{5}{64} {(4 x + 5)}^{4} + C$