Analysis Beispiele

$\int \sqrt[3]{x^{3} + 1} x^{5} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{3} + 1$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{3} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt[3]{u} {\sqrt[3]{u - 1}}^{3} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${\sqrt[3]{u - 1}}^{3}$ als $u - 1$ um.

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Schritt 2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u - 1}$ als ${(u - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt[3]{u} {({(u - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{1} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.1.1.5

Vereinfache.

$\int \sqrt[3]{u} (u - 1) \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{3} (u - 1) d u$

Schritt 2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} (u - 1) d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} u + \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot - 1 d u$

Schritt 3.2

Stelle $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ und $- 1$ um.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} u - 1 \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ und $u$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}} u}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Schritt 3.4

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}} u^{1}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3} + 1}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Schritt 3.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{u^{\frac{1 + 3}{3}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Schritt 3.8

Addiere $1$ und $3$ .

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Schritt 4

Schreibe $- 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ als $- \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ um.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{3} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{4}{3}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{4}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Schritt 9

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - (\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - \frac{1}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 11.2

Schreibe $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ als $\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ um.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 11.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

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Schritt 11.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3 (1)}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 11.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 11.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 11.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{7} {(x^{3} + 1)}^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{4} {(x^{3} + 1)}^{\frac{4}{3}} + C$