Analysis Beispiele

$\int 3^{2 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 3^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $3^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{3^{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int 3^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $3^{u}$ nach $u$ ist $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ als $\frac{1}{2 \ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ um.

$\frac{1}{2 \ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \cdot 3^{2 x} + C$