Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e^{8}} \frac{\ln^{2} (x^{2})}{x} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{2}{x} d x$ , folglich $- d u_{2} = \frac{- 2}{x} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Schritt 1.1.3.2.2

Kombiniere $\frac{2}{x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 1.1.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 1.1.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = \ln (x^{2})$ ein.

$u_{lower} = \ln (1^{2})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = \ln (1)$

Schritt 1.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = \ln (x^{2})$ ein.

$u_{upper} = \ln ({(e^{8})}^{2})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{8})}^{2}$ .

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Schritt 1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (e^{8 \cdot 2})$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$u_{upper} = \ln (e^{16})$

Schritt 1.5.2

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $16$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$u_{upper} = 16 \ln (e)$

Schritt 1.5.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$u_{upper} = 16 \cdot 1$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$u_{upper} = 16$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{16} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{16} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{16}$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Berechne $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ bei $16$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 16^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.2

Potenziere $16$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4096 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $4096$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Schritt 4.4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Schritt 4.4.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0)$

Schritt 4.4.3

Addiere $\frac{4096}{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4096}{3}$

Schritt 4.4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4096}{3}$ .

$\frac{4096}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4096}{6}$

Schritt 4.4.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4096$ und $6$ .

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Schritt 4.4.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4096$ heraus.

$\frac{2 (2048)}{6}$

Schritt 4.4.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2048}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2048}{3}$

Dezimalform:

$682.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$682 \frac{2}{3}$