Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} \frac{e^{\frac{3}{x}}}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{3}{x}$ . Dann ist $d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ , folglich $1 d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{3}{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Schritt 1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2})$

Schritt 1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 x^{- 2}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.6.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}}$

Schritt 1.1.6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{3}{x}$ ein.

$u_{lower} = \frac{3}{1}$

Schritt 1.3

Dividiere $3$ durch $1$ .

$u_{lower} = 3$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{3}{x}$ ein.

$u_{upper} = \frac{3}{3}$

Schritt 1.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{3}^{1} - \frac{1}{3} e^{u} d u$

Schritt 2

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- \frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{3} \int_{3}^{1} e^{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} e^{u}]_{3}^{1}$

Schritt 4

Berechne $e^{u}$ bei $1$ und $3$ .

$- \frac{1}{3} ((e^{1}) - e^{3})$

Schritt 5

Vereinfache.

$- \frac{1}{3} (e - e^{3})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{3} \cdot (e - e^{3})$

Dezimalform:

$5.78908503 \dots$