Analysis Beispiele

$\int \frac{6 \cos (t)}{{(2 + \sin (t))}^{2}} d t$

Schritt 1

Sei $u = 2 + \sin (t)$ . Dann ist $d u = \cos (t) d t$ , folglich $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 + \sin (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 + \sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [2 + \sin (t)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + \sin (t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\sin (t)$ nach $t$ ist $\cos (t)$ .

$0 + \cos (t)$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{6}{u^{2}} d u$

Schritt 2

Da $6$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$6 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 \int u^{- 2} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$6 (- u^{- 1} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $6 (- u^{- 1} + C)$ als $6 (- \frac{1}{u}) + C$ um.

$6 (- \frac{1}{u}) + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 \frac{1}{u} + C$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 6}{u} + C$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $2 + \sin (t)$ .

$- \frac{6}{2 + \sin (t)} + C$