Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x^{2} + 7 x - 3}{x - 2} d x$

Schritt 1

Sei $u = x - 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2} + 7 (u + 2) - 3}{u} d u$

Schritt 2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} + \frac{7 (u + 2)}{u} + \frac{- 3}{u} d u$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{- 3}{u} d u$

Schritt 4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{{(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 6

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe ${(u + 2)}^{2}$ als $(u + 2) (u + 2)$ um.

$2 \int \frac{(u + 2) (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \int \frac{u (u + 2) + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 6.5

Stelle $u$ und $2$ um.

$2 \int \frac{u \cdot u + 2 \cdot u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 7

Potenziere $u$ mit $1$ .

$2 \int \frac{u^{1} u + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 8

Potenziere $u$ mit $1$ .

$2 \int \frac{u^{1} u^{1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \int \frac{u^{1 + 1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 11

Addiere $2 u$ und $2 u$ .

$2 \int \frac{u^{2} + 4 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 12

Dividiere $u^{2} + 4 u + 4$ durch $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$4 u$

$4$

Schritt 12.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $u^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$

Schritt 12.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			+	$u^{2}$	+	$0$

Schritt 12.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $u^{2} + 0$

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$

Schritt 12.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$

Schritt 12.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

Schritt 12.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 u$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

Schritt 12.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					+	$4 u$	+	$0$

Schritt 12.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 u + 0$

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$

Schritt 12.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$
							+	$4$

Schritt 12.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$2 \int u + 4 + \frac{4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 13

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 (\int u d u + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 15

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 17

Da $4$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 18

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 19

Da $7$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int \frac{u + 2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 20

Dividiere $u + 2$ durch $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$u$

$0$

$u$

$2$

Schritt 20.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $u$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	+	$2$

Schritt 20.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$0$

Schritt 20.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $u + 0$

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$

Schritt 20.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$
					+	$2$

Schritt 20.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int 1 + \frac{2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 21

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (\int d u + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 22

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 23

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 24

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{3}{u} d u$

Schritt 25

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{3}{u} d u$

Schritt 26

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - (3 \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 27

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 28

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 29

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1

Vereinfache.

$u^{2} + 8 u + 8 \ln (| u |) + 7 u + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

Schritt 29.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.2.1

Addiere $8 u$ und $7 u$ .

$u^{2} + 15 u + 8 \ln (| u |) + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

Schritt 29.2.2

Addiere $8 \ln (| u |)$ und $14 \ln (| u |)$ .

$u^{2} + 15 u + 22 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

Schritt 29.2.3

Subtrahiere $3 \ln (| u |)$ von $22 \ln (| u |)$ .

$u^{2} + 15 u + 19 \ln (| u |) + C$

Schritt 30

Ersetze alle $u$ durch $x - 2$ .

${(x - 2)}^{2} + 15 (x - 2) + 19 \ln (| x - 2 |) + C$