Analysis Beispiele

$\int \frac{4 x^{3}}{2 x + 3} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 2 x + 3$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 2 x + 3$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{3}}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{3}}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 3

Sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , folglich $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{3}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{3}{2}]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{2}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{3}{2}]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{3}{2}]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{3}{2}]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.4.1

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{2}$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$2 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} \cdot 2 d u_{2}$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3}$ und $2$ .

$2 \int \frac{{u_{2}}^{3} \cdot 2}{2 u_{2} + 3} d u_{2}$

Schritt 4.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{3}$ .

$2 \int \frac{2 {u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} d u_{2}$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 (2 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} d u_{2})$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} d u_{2}$

Schritt 7

Dividiere ${u_{2}}^{3}$ durch $2 u_{2} + 3$ .

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Schritt 7.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 u_{2}$

$3$

${u_{2}}^{3}$

$0 {u_{2}}^{2}$

$0 u_{2}$

$0$

Schritt 7.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend ${u_{2}}^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 u_{2}$ .

					$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$
	$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$

Schritt 7.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			+	${u_{2}}^{3}$	+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$

Schritt 7.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $u^{3} + \frac{3 u^{2}}{2}$

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$

Schritt 7.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$

Schritt 7.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$

Schritt 7.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- \frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 u_{2}$ .

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$

Schritt 7.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{9 u_{2}}{4}$

Schritt 7.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- \frac{3 u^{2}}{2} - \frac{9 u}{4}$

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$

Schritt 7.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$

Schritt 7.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$0$

Schritt 7.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $\frac{9 u_{2}}{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 u_{2}$ .

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$0$

Schritt 7.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$0$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$\frac{27}{8}$

Schritt 7.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $\frac{9 u_{2}}{4} + \frac{27}{8}$

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$0$
							-	$\frac{9 u_{2}}{4}$	-	$\frac{27}{8}$

Schritt 7.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$0$
							-	$\frac{9 u_{2}}{4}$	-	$\frac{27}{8}$
									-	$\frac{27}{8}$

Schritt 7.16

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$4 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2} - \frac{3 u_{2}}{4} + \frac{9}{8} - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2}$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$4 (\int \frac{{u_{2}}^{2}}{2} d u_{2} + \int - \frac{3 u_{2}}{4} d u_{2} + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - \frac{3 u_{2}}{4} d u_{2} + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int - \frac{3 u_{2}}{4} d u_{2} + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{2}}^{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \int - \frac{3 u_{2}}{4} d u_{2} + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \int \frac{3 u_{2}}{4} d u_{2} + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Schritt 13

Da $\frac{3}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{3}{4}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - (\frac{3}{4} \int u_{2} d u_{2}) + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Schritt 15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${u_{2}}^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Schritt 16

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9}{8} u_{2} + C + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Schritt 17

Kombiniere $\frac{9}{8}$ und $u_{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Schritt 18

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \int \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Schritt 19

Da $\frac{27}{8}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{27}{8}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - (\frac{27}{8} \int \frac{1}{2 u_{2} + 3} d u_{2}))$

Schritt 20

Sei $u_{3} = 2 u_{2} + 3$ . Dann ist $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 20.1

Es sei $u_{3} = 2 u_{2} + 3$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 20.1.1

Differenziere $2 u_{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 3]$

Schritt 20.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 u_{2} + 3$ nach $u_{2}$ $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [3]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [3]$

Schritt 20.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

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Schritt 20.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [3]$

Schritt 20.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [3]$

Schritt 20.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [3]$

Schritt 20.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 20.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $u_{2}$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 20.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 20.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3})$

Schritt 21

Vereinfache.

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Schritt 21.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{3}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3})$

Schritt 21.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3})$

Schritt 22

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{8} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Schritt 23

Vereinfache.

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Schritt 23.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{27}{8}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{2 \cdot 8} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Schritt 23.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{16} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Schritt 24

Das Integral von $\frac{1}{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{16} (\ln (| u_{3} |) + C))$

Schritt 25

Vereinfache.

$4 (\frac{{u_{2}}^{3}}{6} - \frac{3 {u_{2}}^{2}}{8} + \frac{9 u_{2}}{8} - \frac{27 \ln (| u_{3} |)}{16}) + C$

Schritt 26

Stelle die Terme um.

$4 (\frac{1}{6} {u_{2}}^{3} - \frac{3}{8} {u_{2}}^{2} + \frac{9}{8} u_{2} - \frac{27}{16} \ln (| u_{3} |)) + C$

Schritt 27

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 27.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ .

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| u_{3} |)) + C$

Schritt 27.2

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 u_{2} + 3$ .

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 u_{2} + 3 |)) + C$

Schritt 27.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x + 3$ .

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 u_{2} + 3 |)) + C$

Schritt 27.4

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ .

Schritt 27.5

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x + 3$ .

Schritt 28

Vereinfache.

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Schritt 28.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

Schritt 28.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 3 - 3$ .

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Schritt 28.2.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

Schritt 28.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

Schritt 28.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 28.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 28.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 28.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x + 3 - 3}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 3 - 3$ .

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Schritt 28.4.2.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x + 0}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 28.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$4 (\frac{1}{6} x^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.4

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3 - 3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 3 - 3$ .

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Schritt 28.4.6.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 0}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.6.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 28.4.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.7.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} x^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.8

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{3}{8}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2} \cdot 3}{8} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 \cdot x^{2}}{8} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{8} \cdot \frac{2 x + 3 - 3}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.11

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 3 - 3$ .

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Schritt 28.4.11.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{8} \cdot \frac{2 x + 0}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.11.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{8} \cdot \frac{2 x}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 28.4.12.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{2 (4)} \cdot \frac{2 x}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.12.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{2 (4)} \cdot \frac{2 (x)}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 x}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.12.4

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{4} \cdot \frac{x}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.13

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{x}{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{4 \cdot 2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.14

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Schritt 28.4.15

Kombiniere $\ln (| 2 x + 3 |)$ und $\frac{27}{16}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{\ln (| 2 x + 3 |) \cdot 27}{16}) + C$

Schritt 28.4.16

Bringe $27$ auf die linke Seite von $\ln (| 2 x + 3 |)$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}) + C$

Schritt 28.5

Um $\frac{x^{3}}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3}}{6} \cdot \frac{8}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}) + C$

Schritt 28.6

Um $- \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3}}{6} \cdot \frac{8}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Schritt 28.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $48$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 28.7.1

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{6}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{6 \cdot 8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Schritt 28.7.2

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Schritt 28.7.3

Mutltipliziere $\frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{16 \cdot 3}) + C$

Schritt 28.7.4

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

Schritt 28.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8 - 27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

Schritt 28.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 28.9.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{8 \cdot x^{3} - 27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

Schritt 28.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 27$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48}) + C$

Schritt 28.10

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8}) + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Schritt 28.11

Vereinfache.

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Schritt 28.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 28.11.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x^{2}}{8}$ in den Zähler.

$4 \frac{- 3 x^{2}}{8} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Schritt 28.11.1.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 \frac{- 3 x^{2}}{4 (2)} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Schritt 28.11.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{- 3 x^{2}}{4 \cdot 2} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Schritt 28.11.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Schritt 28.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 28.11.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{4 (2)} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Schritt 28.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{4 \cdot 2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Schritt 28.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Schritt 28.11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 28.11.3.1

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{4 (12)} + C$

Schritt 28.11.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{4 \cdot 12} + C$

Schritt 28.11.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{12} + C$

Schritt 28.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{12} + C$

Schritt 29

Stelle die Terme um.

$- \frac{3}{2} x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{1}{12} (8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)) + C$