Analysis Beispiele

$\int 12 {(y^{4} + 4 y^{2} + 1)}^{2} (y^{3} + 2 y) d y$

Schritt 1

Sei $u = y^{4} + 4 y^{2} + 1$ . Dann ist $d u = (4 y^{3} + 8 y) d y$ , folglich $\frac{1}{4} d u = (y^{3} + 2 y) d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = y^{4} + 4 y^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $y^{4} + 4 y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4} + 4 y^{2} + 1]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{4} + 4 y^{2} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 y^{3} + \frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [4 y^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$4 y^{3} + 4 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 y^{3} + 4 (2 y) + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 y^{3} + 8 y + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$4 y^{3} + 8 y + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $4 y^{3} + 8 y$ und $0$ .

$4 y^{3} + 8 y$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 3 u^{2} \frac{4}{4} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int 3 u^{2} \frac{4}{4} d u$

Schritt 2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\int 3 u^{2} \cdot 1 d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int 3 u^{2} d u$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int u^{2} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ als $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ um.

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 5.2

Schreibe $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ als $1 u^{3} + C$ um.

$1 u^{3} + C$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $u^{3}$ mit $1$ .

$u^{3} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $y^{4} + 4 y^{2} + 1$ .

${(y^{4} + 4 y^{2} + 1)}^{3} + C$