Analysis Beispiele

$\int \frac{9 x}{\sqrt{3 x^{2} + 8}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 x^{2} + 8$ . Dann ist $d u = 6 x d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 x^{2} + 8$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$6 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{9}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{9}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{9}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

Schritt 2.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{9}{6 \cdot \sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\int \frac{3 (3)}{6 \sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6 \sqrt{u}$ heraus.

$\int \frac{3 (3)}{3 (2 \sqrt{u})} d u$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{3 \cdot 3}{3 (2 \sqrt{u})} d u$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{3}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $\frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 6.2

Schreibe $\frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ als $3 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$3 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} + 8$ .

$3 {(3 x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + C$