Analysis Beispiele

$\int \frac{4 x}{3 {(9 - 2 x^{2})}^{\frac{4}{3}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 9 - 2 x^{2}$ . Dann ist $d u = - 4 x d x$ , folglich $\frac{1}{- 4 x} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 9 - 2 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $9 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 - 4 x$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $4 x$ von $0$ .

$- 4 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{3 u^{\frac{4}{3}}} d u$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{3 u^{\frac{4}{3}}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{3 u^{\frac{4}{3}}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}} d u)$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $u^{\frac{4}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{4}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.2

Multipliziere $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{4 \cdot - 1}{3}} d u$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 4}{3}} d u$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} \int u^{- \frac{4}{3}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{4}{3}}$ nach $u$ gleich $- 3 u^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{1}{3} (- 3 u^{- \frac{1}{3}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $- \frac{1}{3} (- 3 u^{- \frac{1}{3}} + C)$ als $- \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$ um.

$- \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$

Schritt 7.2

Schreibe $- \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$ als $- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} (- \frac{3}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) \frac{3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3}{u^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3}{3 u^{\frac{1}{3}}} + C$

Schritt 7.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3 u^{\frac{1}{3}}} + C$

Schritt 7.3.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $9 - 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{{(9 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{3}}} + C$