Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{2}} (2 x)$ um.

$2 e^{x^{2}} x$

Schritt 1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2}} x$ um.

$2 x e^{x^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{x^{2}}$ ein.

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Schritt 1.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{x^{2}}$ ein.

$u_{upper} = e^{1^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = e^{1}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache.

$u_{upper} = e$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{1}{2} u_{2}$ bei $e$ und $1$ .

$(\frac{1}{2} e) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e$ .

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.85914091 \dots$