Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x^{3}} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} d x$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{x^{3}}$ und $\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{2}{x^{3}} d x$ , folglich $- d u_{2} = \frac{- 2}{x^{3}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \frac{1}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.1.3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.1.3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.1.3.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$0 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.1.3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.1.3.10

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$0 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.1.3.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$0 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.1.3.12

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $0$ .

$0 + 2 x^{- 3} + 0$

Schritt 2.1.3.13

Addiere $2 x^{- 3}$ und $0$ .

$0 + 2 x^{- 3}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.4.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 2.1.4.2.2

Addiere $0$ und $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{2} \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{2}}$ als ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2

Schreibe $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ als $\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{3}{2}} + C$