Analysis Beispiele

$\int \frac{24 x}{\sqrt[3]{6 x^{2} + 1}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 6 x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 12 x d x$ , folglich $\frac{1}{12 x} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 6 x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $6 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $12 x$ und $0$ .

$12 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{2}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 3.2

Bringe $u^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Schritt 3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ als $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ um.

$2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 5.2

Schreibe $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ als $3 u^{\frac{2}{3}} + C$ um.

$3 u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $6 x^{2} + 1$ .

$3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} + C$