Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 5} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{3} + 5$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{3} + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{3} + 5$ ein.

$u_{lower} = {(- 1)}^{3} + 5$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$u_{lower} = - 1 + 5$

Schritt 1.3.2

Addiere $- 1$ und $5$ .

$u_{lower} = 4$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{3} + 5$ ein.

$u_{upper} = 1^{3} + 5$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 5$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $5$ .

$u_{upper} = 6$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 6$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{4}^{6} \sqrt{u} d u$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{4}^{6} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{6}$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $6$ und $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $6^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

Schritt 4.3.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

Schritt 4.3.2.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3}$

Schritt 4.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

Dezimalform:

$4.46462563 \dots$