Analysis Beispiele

$\int \frac{4 x^{4} + 3}{4 x^{5} + 15 x + 2} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 x^{5} + 15 x + 2$ . Dann ist $d u = (20 x^{4} + 15) d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = (4 x^{4} + 3) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 x^{5} + 15 x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x^{5} + 15 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{5} + 15 x + 2]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{5} + 15 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{5}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$20 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$20 x^{4} + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$20 x^{4} + 15 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$20 x^{4} + 15 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $20 x^{4} + 15$ und $0$ .

$20 x^{4} + 15$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 5} d u$

Schritt 2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{5 u} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{5} \ln (| u |) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{5} + 15 x + 2$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 x^{5} + 15 x + 2 |) + C$