Analysis Beispiele

$\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc (π A) \cot (π A) d A$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \csc (π A)$ . Dann ist $d u_{2} = - π \cot (π A) \csc (π A) d A$ , folglich $- \frac{1}{π} d u_{2} = \cot (π A) \csc (π A) d A$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \csc (π A)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d A}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\csc (π A)$ .

$\frac{d}{d A} [\csc (π A)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ ist $f' (g (A)) g' (A)$ , mit $f (A) = \csc (A)$ und $g (A) = π A$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $π A$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d A} [π A]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\csc (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d A} [π A]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $π A$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) \frac{d}{d A} [π A]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $π$ konstant bezüglich $A$ ist, ist die Ableitung von $π A$ nach $A$ gleich $π \frac{d}{d A} [A]$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \frac{d}{d A} [A])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ gleich $n A^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) π$

Schritt 1.1.3.3.2

Stelle die Faktoren von $- \csc (π A) \cot (π A) π$ um.

$- π \cot (π A) \csc (π A)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $A$ in $u_{2} = \csc (π A)$ ein.

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{6})$ ist $2$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $A$ in $u_{2} = \csc (π A)$ ein.

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5.2

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{2}^{1} - \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Schritt 2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{π} d u_{2}$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{π} u_{2}]_{2}^{1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Berechne $- \frac{1}{π} u_{2}$ bei $1$ und $2$ .

$(- \frac{1}{π} \cdot 1) + \frac{1}{π} \cdot 2$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{1}{π} \cdot 2$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $2$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{2}{π}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 2}{π}$

Schritt 4.4.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1}{π}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{π}$

Dezimalform:

$0.31830988 \dots$