Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} d x$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 1 + \frac{1}{x}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , folglich $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 1 + \frac{1}{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.1.4.2

Subtrahiere $\frac{1}{x^{2}}$ von $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - \sqrt{u} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 6

Schreibe $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $1 + \frac{1}{x}$ .

$- \frac{2}{3} {(1 + \frac{1}{x})}^{\frac{3}{2}} + C$