Analysis Beispiele

$\int 10 x {(4 x^{2} - 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 x^{2} - 3$ . Dann ist $d u = 8 x d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 x^{2} - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$8 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 10 u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{8} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $10$ .

$\int \frac{10}{8} u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{10}{8}$ und $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{8} d u$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2$ aus $10 u^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\int \frac{2 (5 u^{\frac{3}{2}})}{8} d u$

Schritt 2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\int \frac{2 (5 u^{\frac{3}{2}})}{2 (4)} d u$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 (5 u^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 4} d u$

Schritt 2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} d u$

Schritt 3

Da $\frac{5}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{5}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{5}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ als $\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ um.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ als $\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} - 3)}^{\frac{5}{2}} + C$