Analysis Beispiele

$\int \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 2.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 2.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 2.1.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.1.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

Schritt 3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int - 2 e^{u} d u$

Schritt 4

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int e^{u} d u$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- 2 (e^{u} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$- 2 e^{u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 e^{- x^{\frac{1}{2}}} + C$