Analysis Beispiele

$\int e^{4 \cot (x)} \cdot \csc^{2} (x) d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 \cot (x)$ . Dann ist $d u = - 4 \csc^{2} (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u = \csc^{2} (x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 \cot (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 \cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cot (x)]$

Schritt 1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \cot (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$4 (- \csc^{2} (x))$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \csc^{2} (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$- \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $4 \cot (x)$ .

$- \frac{1}{4} e^{4 \cot (x)} + C$