Analysis Beispiele

$\int {(x^{3} + 1)}^{2} d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Multipliziere ${(x^{3} + 1)}^{2}$ aus.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(x^{3} + 1)}^{2}$ als $(x^{3} + 1) (x^{3} + 1)$ um.

$\int (x^{3} + 1) (x^{3} + 1) d x$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{3} (x^{3} + 1) + 1 (x^{3} + 1) d x$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot 1 + 1 (x^{3} + 1) d x$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot 1 + 1 x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 2.5

Stelle $x^{3}$ und $1$ um.

$\int x^{3} x^{3} + 1 \cdot x^{3} + 1 x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{3 + 3} + 1 x^{3} + 1 x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 2.7

Addiere $3$ und $3$ .

$\int x^{6} + 1 x^{3} + 1 x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$\int x^{6} + x^{3} + 1 x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$\int x^{6} + x^{3} + x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int x^{6} + x^{3} + x^{3} + 1 d x$

Schritt 2.11

Addiere $x^{3}$ und $x^{3}$ .

$\int x^{6} + 2 x^{3} + 1 d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{6} d x + \int 2 x^{3} d x + \int d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 2 x^{3} d x + \int d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 2 \int x^{3} d x + \int d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + x + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + x + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$\frac{x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{2} + x + C$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{2} x^{4} + x + C$