Analysis Beispiele

$\int x \sin^{2} (x^{2}) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Kombiniere $\sin^{2} (u_{1})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 10

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 11

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Schritt 13

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Schritt 14

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 15.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Schritt 15.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \sin (2 x^{2})) + C$

Schritt 16

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Kombiniere $\sin (2 x^{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{\sin (2 x^{2})}{2}) + C$

Schritt 16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x^{2})}{2}) + C$

Schritt 16.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x^{2})}{2}) + C$

Schritt 16.4

Multipliziere $\frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x^{2})}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{\sin (2 x^{2})}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{\sin (2 x^{2})}{4 \cdot 2} + C$

Schritt 16.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{\sin (2 x^{2})}{8} + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \sin (2 x^{2}) + C$