Analysis Beispiele

$\int 5 \sqrt{5 x - 1 d x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 5 x - 1 d x$ . Dann ist $d u = (- d + 5) d x$ , folglich $\frac{1}{- d + 5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 5 x - 1 d x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $5 x - 1 d x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 1 d x]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 1 d x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 1 d x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe $- 1 d$ als $- d$ um.

$5 + \frac{d}{d x} [- d x]$

Schritt 1.1.4.2

Da $- d$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- d x$ nach $x$ gleich $- d \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 - d \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 - d \cdot 1$

Schritt 1.1.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 - d$

Schritt 1.1.5

Stelle die Terme um.

$- d + 5$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 5 \sqrt{u} \frac{1}{- d + 5} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{- d + 5}$ und $5$ .

$\int \frac{5}{- d + 5} \sqrt{u} d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{5}{- d + 5}$ und $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{5 \sqrt{u}}{- d + 5} d u$

Schritt 3

Da $\frac{5}{- d + 5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{5}{- d + 5}$ aus dem Integral.

$\frac{5}{- d + 5} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{5}{- d + 5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5}{- d + 5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{5}{- d + 5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{5}{- d + 5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{5}{- d + 5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2

Schreibe $\frac{5}{- d + 5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ als $\frac{10}{(- d + 5) \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{10}{(- d + 5) \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $- d + 5$ .

$\frac{10}{3 \cdot (- d + 5)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $\frac{10}{3 (- d + 5)}$ und $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3 (- d + 5)} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $5 x - 1 d x$ .

$\frac{10 {(5 x - 1 d x)}^{\frac{3}{2}}}{3 (- d + 5)} + C$