Analysis Beispiele

$\int_{2}^{4} \frac{1}{5 - 3 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 5 - 3 x$ . Dann ist $d u = - 3 d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 5 - 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $5 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$0 - 3$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$- 3$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 5 - 3 x$ ein.

$u_{lower} = 5 - 3 \cdot 2$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$u_{lower} = 5 - 6$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 5 - 3 x$ ein.

$u_{upper} = 5 - 3 \cdot 4$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$u_{upper} = 5 - 12$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $12$ von $5$ .

$u_{upper} = - 7$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 7$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Schritt 2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{3 u} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{3 u} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{3} \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} d u)$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| u |)]_{- 1}^{- 7}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\ln (| u |)$ bei $- 7$ und $- 1$ .

$- \frac{1}{3} ((\ln (| - 7 |)) - \ln (| - 1 |))$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{3} \ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})}{3}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 7$ und $0$ ist $7$ .

$- \frac{\ln (\frac{7}{| - 1 |})}{3}$

Schritt 6.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{7}{1})}{3}$

Schritt 6.3.3

Dividiere $7$ durch $1$ .

$- \frac{\ln (7)}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\ln (7)}{3}$

Dezimalform:

$- 0.64863671 \dots$