Analysis Beispiele

$\int \frac{3^{2 x}}{1 + 3^{2 x}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{3^{u_{1}}}{(1 + 3^{u_{1}}) \cdot 2} d u_{1}$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + 3^{u_{1}}$ .

$\int \frac{3^{u_{1}}}{2 (1 + 3^{u_{1}})} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ . Dann ist $d u_{2} = 3^{u_{1}} \ln (3) d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{\ln (3)} d u_{2} = 3^{u_{1}} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $1 + 3^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + 3^{u_{1}}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 3^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

Schritt 4.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $3$ .

$0 + 3^{u_{1}} \ln (3)$

Schritt 4.1.4

Addiere $0$ und $3^{u_{1}} \ln (3)$ .

$3^{u_{1}} \ln (3)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (3)} d u_{2}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (3)} d u_{2}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{\ln (3)}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{\ln (3)}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (3)}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\ln (3) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (3)$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 10

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + 3^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{u_{1}} |) + C$

Schritt 10.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{2 x} |) + C$